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老年生活娱乐平台,陈省身:三角形内角和不等于180°

作者:匿名 时间:2020-01-11 13:30:10 阅读量:3441

老年生活娱乐平台,陈省身:三角形内角和不等于180°

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外角和为360°

作为公认的劳模,平日里,超模君不但要码字,工作之余还要监督表妹做作业,也难怪表妹成绩总是能名列前茅。

今天表妹做作业时,遇到一道判断题:“三角形的内角和等于180°”,她毫不犹豫打了勾。

超模君告诉表妹,这道题你可以打勾,但也要知道这个说法是不完全正确的。

表妹急了,怎么会呢?课本上明明说“三角形的内角和等于180°”,而且老师上课还再三强调大家一定要记住这个定理呢。

为了从小培养表妹严谨的科研精神,超模君决定给她上一课!

三角形的外角和为360°

我们从小就滚瓜烂熟的“三角形的内角和等于180°”这种数学常识其实是不严谨的。我们先从伟大的华人数学家陈省身的一场讲学说起。

那是1980年,陈省身教授受邀在北京大学的一次讲学中语惊四座:“人们常说,三角形内角和等于180°。但是,这是不对的!”

当时现场一片哗然,目瞪口呆,三角形内角和等于180°不是数学常识吗?怎么回事?

紧接着,陈教授就大家的疑惑作出了精彩的解答:

在这次讲学中,陈教授给我们传递了一个观点:数学不是罗列更多的现象,也不是追求更妙的技巧,而是要从更普遍的、更一般的角度寻求规律和答案。

不只盯着多边形的内角看,用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,可找到了更一般的规律:任意n边形的外角和都是360°。

下面举个例子,简单证明任意n边形的外角和都是360°这个规律。

假设一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子(如下图)。每经过一个顶点,它前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈,回到原处,方向和出发时一致了,角度改变量之和当然恰好是360°。

这样看问题,给“任意多边形外角和等于360°”这条普遍规律找得到了直观上的解释。

陈教授在那次讲学中,没有否定“三角形的内角和等于180°”,因为其中涉及欧式几何和非欧几何。

三角形的内角和不一定等于180°

“三角形的内角和等于180°”是从欧式几何里的公理五(又称之为平行公设)衍生出来的公理。在欧式几何里,“三角形的内角和等于180°”是正确的。

下面简单证明一下”三角形的内角和等于180°“的一般规律:

随着数学研究的进步,到了高斯时代,欧氏几何里的公理五备受质疑。

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利人波尔约表示:第五公理只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,即“三角形的内角和不一定等于180°”,从而发现非欧几里得的几何学,即非欧几何。

举个例子,地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”,这个“三角形”的三个角都应该是 90°,它们的和就是 270°!

相反,在凹面上的三角形内角和自然小于180°,所以在非欧几何里,三角形的内角和不一定等于180°。

那些有趣的三角形

我们的生活中存在着许多有趣的三角形,他们的内角和或大于180°,或小于180°,有的还被人们巧妙得利用到各个领域。

比如,可以用作运输的莱洛三角形:

谢尔宾斯基三角形:一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,如此无限循环,谢尔宾斯基三角形面积越趋近于零,而它的周长越趋近于无限大。

三维世界不存在的彭罗斯三角形:彭罗斯三角形被称为“最纯粹形式的不可能”,它将三个不同角度的三角顶角整合为一个整体,因而本应是一个平面的面发生了扭转,这样的三角形在三维世界是不可能存在的。

这样的“三角形”被艺术家巧妙地用在作品中,比如世界名画:埃舍尔的《瀑布》。

《瀑布》

还有澳大利亚东珀斯的地标建筑就是彭罗斯三角形的模型。

澳大利亚东珀斯彭罗斯三角形

股民眼中的三角形:三角形整理突破分析是高阶股民必备的技能。

程序员眼中的三角形:行吧,在程序员的世界里,什么都是字母加数字的。

非欧几何应用

回到开头和表妹讲的题目:三角形内角和等于180°的对与错。其实在小学里,学的默认是欧式几何,所以是正确的。然而在非欧几何里,三角形的内角和等于180°就不成立了。

非欧几何的应用在生活中和欧式几何一样十分常见,如在航海学上:地球本身就是曲面的,如果使用欧式几何,只会得到错误的结论。

图来源于b站肉兔君

近代黎曼几何学在广义相对论里得到了重要的应用。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。

爱因斯坦在看到了罗巴切夫斯基和黎曼的发现之后,在广义相对论里,放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空是弯曲的。非欧几何成了解释相对论的数学工具。

数学的意义就在于,它经常走在其他科学的前面,我们通过数学的研究,可以为其他科学提供很多帮助。

即使学数学会让人头凉凉的,依然有人抱着“我不秃谁秃”的死士精神走在数学研究的道路上。

所以这一杯,敬所有爱数学的人儿。

另外,表妹你懂了嘛?